2001年4月21日（土）14:00〜17:00, 京都大学数学教室第１講義室
松崎 克彦（お茶の水女子大学理学部）III : Exotic projective structures and prime ends of the region of discontinuity on a Riemann surface
松崎 克彦（お茶の水女子大学理学部）リーマン面上の射影構造のホロノミー表現が全退化群になるものについて， 擬フックス群の場合の結果を拡張することを試みてきた． 前回までに，議論の概略と， 困難は全退化群の極限集合の局所連結性が証明できないことにあることを述べ， かわりに極限集合の分解可能性から出発する方針を提示した． 今回は，この議論での中心的なアイデアである， ホロノミー表現の不連続領域のプライムエンドに関する補題を述べる．
奥山裕介（静岡大学理学部）In his preprint (IMS 99-1), Adam Epstein showed the Epstein inequality for rational maps of degree more than two: the number of attracting, parabolic, Siegel and Cremer cycles is less than or equal to that of infinite tails of singular values. His proof is not based on perturbation but on the infinitesimal Thurston rigidity. In this talk, we will prove this inequality for the Speicer transcendental meromorphic functions following his argument.
須川 敏幸（京都大学理学部、ヘルシンキ大学）The existence and the uniqueness of the Beltrami equation $ f_{\bar z}=\mu f_z $ in the plane is established and well known in the case $\|\mu\|_\infty<1.$ However, in the case $|\mu|<1$ a.e. but $\|\mu\|_\infty=1,$ the situation is not so simple. Recently, Brakalova and Jenkins proved the existence theorem under the sub-exponential integrability condition for $1/(1-|\mu|).$ Note that this condition is weaker than the so-called G. David condition. We will give a sufficient condition for $\mu$ to have a solution as well as almost sharp estimates for the modulus of continuity. Our condition is shown to be optimal in some sense by examples. The uniqueness is more subtle. We will give a uniqueness result under the assumption of some thinness property for the singular set. This result is based on the recent paper by Gotoh and Taniguchi. This is a joint work with V. Gutlyanskii, O. Martio and M. Vuorinen.
吉田 雅通（大阪市立大学 大学院理学研究科）位相的多項式 $T:S^2 \to S^2$（完全不動点 $x_{\infty} \in S^2$、 つまり $T^{-1}(\{x_{\infty}\}) = \{x_{\infty}\}$ をみたす点、 をもち、向きを保つ有限対１の連続開写像）で、 対応するJulia集合 $J_T$ が連結、局所連結で、 条件「$J_T$ の各点の後方軌道が $J_T$ の中で稠密となる」をみたすものを対象とする。 このとき、$J_T$ のpinched circle model が構成できることを示す。 更に、この結果の応用として、 $T$ が２次で周期的な臨界点が $J_T$ に含まれない場合、 $T$ に対する遊走領域の非存在を示す。 時間があれば、通常の多項式と位相共役でない位相的多項式の構成について触れる予定。
宮地 秀樹（大阪市立大学大学院理学研究科）このセミナーではY.Minskyの論文 "Bounded geometry for Kleinian groups"（SUNY preprint） の解説をする。 この論文では与えられたKleinian surface groupに対応する双曲多様体内の 閉測地線の長さが下から有界であるための条件を、 その群のending laminationの位相的データで特徴づけている。 その系として、そのようなending lamination を持つ多様体に関する Ending lamination theoremを得る。 ここでは、どのようにして短い測地線を与える曲線の候補を見つけるかを中心に解説したい。
14:00 - 15:20 藤解 和也（金沢大工）
The celebrated Malmquist theorem states that a complex differential equation
of the form $y'=R(z,y)$, where the right-hand side is rational in both arguments,
and which admits a transcendental meromorphic solution in the complex plane,
reduces into a Riccati differential equation with rational coefficients.
In this talk we study meromorphic solutions of complex difference equations
related to the above two differential equations. This was motivated by a recent paper
by Ablowitz, Halburd and Herbst. We will give an extension of some of their results
when coefficients are transcendental meromorphic functions. A "generalized" Schr\"oder
equation $f(cz)=R(z,f(z))$, $|c|>1$, will be also observed in relation to a problem
posed by L. A. Rubel. In each case the existence of meromorphic solutions is supposed.
We study the growth of these meromorphic solutions by applying the Nevanlinna theory.
Some examples and related open questions will be discussed hopefully.
This is a part of joint works with J. Heittokangas, R. Korhonen, I. Laine,
J. Rieppo and D. Yang.
15:40 - 17:00 諸澤 俊介（高知大理）
a を複素数とし、D(a, r) で a を中心とする半径 r の
開円板を表すとする。f を整函数とする。a において f が
semihyperbolic であるとは、適当な r と自然数 N で、
すべての n と f^{-n}(D(a, r)) のすべての成分 U に対して
f^{n}|_{U}:U->D(a, r) が次数が高々 N の固有写像となるものが存在する時をいう。
さらに、ジュリア集合上のすべての点で semihyperbolic であるとき、f を
semihyperbolic であるという。次の事が示せる。
定理 f を semihyperbolic transcendental entire function とする。
この時、その上での極限函数が有限となる遊走領域は存在しない。
定理 f を特異有界型の semihyperbolic transcendental entire
function とする。この時、ファトウ集合は吸引鉢だけからなる。
さらに semihyperbolic transcendental entire function の具体的
例を示す。これは CAU の Bergweiler 氏との共同研究である。
矢ヶ崎 達彦（京都工繊大）コンパクト曲面の（微分）同相群の恒等写像の連結成分のホモトピー型は， 1970年頃までに既に分類されており，わずかの例外を除いて可縮である （一点と同じホモトピー型を持つ）事が知られている。 これに対して，非コンパクト曲面の場合は，有限型の場合を除いて， 一般的な結果は得られていなかった。 この講演では，非コンパクト曲面の（微分）同相群の恒等写像の連結成分の， コンパクト・開 C^r-位相のもとでの，ホモトピー型の分類に関して説明する。 結局，わずかの例外を除いて可縮である事が分かる。 証明方法は，曲面をコンパクト曲面の増加列として表し， 同相群から埋め込み空間への制限写像がバンドルになることを用いて， 埋め込み空間を経由して，コンパクト曲面の同相群の可縮性に帰着させることである。
谷口 雅彦（京都大理）Sectorial に structurally finite な entire functions に対し、Sectorial に escape する点の集合の量は以前と同様にして評価できる。 （以前の証明は rough だったので、きちんとした証明を与える予定である。） また、structurally infinite な entire functions への応用も述べる。
梅原 和彦（京都大学大学院理学研究科） Banach space 上の hypercyclic operator の存在に関する Ansari と Bernal-Gonzalez の論文を紹介してもらいます（谷口）。
中井 三留（名工大名誉教授） Heins end の理想境界に handleｓ が集積しないならば、有界正則（又は調和）関数の理想境界に於ける集積値集合が一点となると言う古典的なRiemann の定理が、handles の集積があっても正則の場合なら成立し続けるが、調和の場合一般に否であり、その成否はend の調和次元が１か又は１以上かで決まり、更に集積値集合の構造が、調和次元のあり方で決まる。それ故、「Heins 面の調和次元の分布を決定せよ」と言うHeins の問題は是非解きたいものである。任意の放物型面 R を一定の手順でほんの僅か改造して R と同一調和次元を持つ R の付随ハインズ面と呼ぶハインズ面を作る話をする。その直接の応用として、Heins の問題は、「放物型面の調和次元の分布を決定せよ」と言う問題と同値な事が導かれる。これにより Heins の問題に対する既存の諸結果を統一的に扱うことが可能となる。
細川 卓也（新潟大・自然科学） Hardy空間上の合成作用素の生成する空間の作用素位相やessential normによる位相を入れ、孤立点と連結成分に関する位相構造と合成作用素のcompact性との関連を考察する。
松元 重則（日大・理工） 閉曲面の写像類群で、周期的でもなく、可約でもないものは、擬アノソフ微分同相という標準形をもつ（Thurston）。 この定理の証明についてお話しする。双曲幾何学の基本事項は既知とする。
Linda Keen (Herbert H. Lehman College, City University of New York)In this talk, based on joint work with Jane Gilman, I will present a new interpretation of the Gilman-Maskit discreteness algorithm for Fuchsian groups that relates Farey sequences for rational numbers with the self- intersection numbers of geodesics on the quotient surface. I will prove that the algorithm finds the Weierstrass points of the doubled quotient surface.
栗原 茂徳（都立大・理） For the family $\mathscr{F}(K)$ of $K$-quasiconformal mappings $f$ from $\overline{\mathbb{C}}=\{ |z|\leqslant +\infty \}$ onto $\overline{\mathbb{C}}$ such that $f(\mathbb{R})=\mathbb{R}$ and $f(x)=x$, for $x=-1, 0, \infty$, the supremum $\lambda(K,t)$ and the infimum $\nu(K,t)$ of $f(t)$ for $f$ ranging over $\mathscr{F}(K)$ with $t\in\mathbb{R}$ fixed are studied.
小櫃 邦夫（鹿児島大・理）Seiberg,Witten両氏は、リーマン球面上で３点のまわりで与えられたホロノミーをもつ多価正則函数を考察し、 自然なやり方である計量を定義した。 Barrett氏はこれに新しい特徴付けを与え、種数正の開リーマン面上でも同種の計量が定義できることを示した。 この仕事について解説する。 Riemann-Hilbert問題、Hardy空間、non-extreme point、曲率方程式、 Levi-flat超曲面などが自然に現れる興味深い対象である。 できれば、種数正の場合のRiemann-Hilbert問題との関連について述べたいと願っている。
松崎 克彦（お茶の水女子大・理） 無限次元タイヒミュラー空間のモジュラー群は一般に非可算群であり， タイヒミュラー空間に不連続に作用するとも限らない． その力学系について藤川は，球面に作用するクライン群との類似で極限集合を定義し，基本的性質を調べた． この講演では，モジュラー群の極限集合の理論に関する最近の進展と残された問題およびその展望を概説する．
John R. Parker (Univ. of Durham)
Suppose that S is a surface with negative Euler characteristic.
It is well known that S can be written as H^2/G where H^2 is the
hyperbolic plane and G is a discrete, faithful representation of the
fundamental group of S to the isometries of H^2. Such a group is called
Fuchsian.
If we regard G as being a representation into the isometry group of H^3,
hyperbolic 3-space, that happens to preserve a totally geodesic hyperplane
then we can ask how it is possible to continuously deform G to other
discrete, faithful representations of the fundamental group of S. Such
groups are called quasi-Fuchsian and have been extensively studied.
In this talk we regard G as being a representation into the isometry
group of complex hyperbolic 2-space, H^2_C, that happens to preserve a
totally geodesic copy of the hyperbolic plane. There are two ways that
this can happen. It may be that G preserves a complex line, that is a copy
of the Poincare disc model, or it may be that G preserves a Lagrangian
plane, that is a copy of the Klein-Beltrami disc model. We may ask
whether it is possible to deform G to complex hyperbolic analogues of
quasi-Fuchsian groups. It turns out that the answers are different in
these two cases and also depending on whether or not S is closed or
punctured. I will give a survey of the known results.
宮地秀樹（大阪市大・理） この講演ではBrock Williamsの論文
Earthquakes and Circle packings
(to appear in Journal d'Analyse Mathematique)
の解説をする。この論文で彼は単位円板上の有限なLamination
に関するEarthquake変形をCircle packingを用いた
"Combinatric Earthquake"なる変形で近似している。
さらに彼はその変形解析的有限型のリーマン面に拡張することも述べている。
この講演ではそれらのことを時間の許す限り解説するつもりである。
角 大輝（東工大・理工） 有理半群、つまりリーマン球面上の有理関数で生成された半群の力学系を考える。 有理半群をジュリア集合上の連続関数の空間に作用させる。 こうして出来た作用素の半群の閉包がいつコンパクトになるかの必要十分条件を考える。 コンパクトになるとき、閉包をとって付け加わる部分は、ある確率測度の族に対応することをみる。
成田 淳一郎 （大同工大・工）平面領域上の有界正則関数に関する補間点列と有界調和関数に対する補間点列の関係、 補間点列の極大イデアル空間の中での特徴付け、コロナ問題等の話題について、 よく知られた結果の紹介に加えて、若干の新しい結果を紹介します。
Jeong, Moonnja (University of Suwon)We define the Szego kernel associated to the bounded planar domains and discuss how the property of the Szego kernel is related to the Ahlfors map and proper map. We discuss the transformation formula for the Szego kernel. We suggest open problems about the Szego kernel.
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